Newton e Leibniz

Hoje inspirei-me a escrever novamente neste blog após longo período de trevas. A inspiração surgiu ao fazer um dever da disciplina de Funções de uma Variável (equivalente ao Cálculo I), onde deveria pesquisar sobre a contribuição para a ciência dos matemáticos, filósofos e teólogos, Isaac Newton e Gottfried Leibniz.

A história da matemática até certo ponto é fantástica e estes dois são gigantes nessa ciência. Enfim, sem mais prolongamentos, segue o trabalho realizado, ainda sem revisão.

 

NEWTON

Se eu enxerguei mais longe de Descartes e porque me sustentei sobre os ombros de gigantes.
(Newton)

Isaac Newton, matemático, filósofo e físico, nasceu aos 4 de janeiro de 1643, pelo calendário gregoriano, em Woolsthorpe, ano da morte de Galilei.[1] Órfão de pai desde que nasceu, sua mãe casou-se novamente quando ele tinha três anos. Foi educado pela avó e por um tio materno, que se formara em Cambrige, e que percebeu em Isaac um talento matemático incomum. Convenceu sua mãe a matriculá-lo nessa instituição.[2]

Durante sua vida estudou Euclides, Descartes, Schooten, Kepler, Viète, sobretudo, Arithimetica infinitorum de Wallis.[2]

Em outubro de 1665, uma epidemia de peste forçou a universidade a fechar suas portas. Newton, então, voltou para Woolsthorpe.[1] Os dois anos passados em sua cidade natal foram extremamente produtivos e, neles, Isaac fez suas principais descobertas: o teorema binomial, o cálculo, a lei da gravitação e a natureza das cores.[2]

O teorema binomial foi descoberto em 1664 ou 1665 e descrito em duas cartas de Newton para Henry Oldenburg, secretário da Royal Society. Foi publicado em 1685, por Wallis, em Álgebra.[2]

Nos estudos ópticos, Newton estudou a refração da luz e demonstrou que a luz branca pode decompor-se em um espectro de cores ao atravessar um prisma, e vice-versa. Ele mostrou que a luz colorida não altera suas propriedades, mostrando que independentemente da cor incidida, o objeto permaneceu com a mesma cor. Concluiu que a cor é a interação de objetos já coloridos com a luz. É chamado de Teoria da cor. O cientista propôs uma teoria para a natureza da luz, a natureza corpuscular, onde a luz é formada por partículas, que ficou abandonada pela comunidade científica por longo período de tempo, prevalecendo a teoria ondulatória. Os estudos de óptica foram publicados no livro Opticks.[3]

Descobriu seu método das séries infinitas e o cálculo. Em 1687, imprimiu Philosophiae naturalis principia mathematica, onde expos o calculus. Esse livro é geralmente descrito como apresentando os fundamentos da física e da astronomia na linguagem geométrica pura, apesar de constar bastantes informações analíticas. Newton não foi o primeiro a diferenciar ou integrar. Sua descoberta consistiu na consolidação desses elementos num algoritmo geral aplicável a todas as funções. Leibniz realizou trabalhos semelhantes, independentes e posteriores.[2]

As mais populares contribuições de Newton foram na física, com a lei da gravitação – combinação das ideias de Galileu, acerca o movimento, da lei de Kepler, da astronomia, e da lei de Huygens, da força centrípeta. Não foi o primeiro a formular a lei, mas sim, a prová-la matematicamente de modo convincente.

Em 1689, Isaac Newton foi eleito membro do parlamento da Universidade de Cambrige. Foi nomeado, em 1703, presidente da Royal Society, ocupando essa função até a morte.[1]

Como muitos gênios, era propenso à depressão e era amargo com outros cientistas. Apesar disso, foi uma importante figura científica na Europa, durante o século XVIII.[2] Faleceu aos 31 de março de 1727 e foi enterrado na Abadia de Westminster.[3]

LEIBNIZ

Tomando a matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade.
(Leibniz)

Gottfried Wilhelm Leibniz, filósofo e matemático, nasceu em Leipzig, onde aos quinze anos entrou na universidade e aos dezessete obteve o grau de bacharel.[2]

Ainda criança perdeu seu pai, então sua mãe encarregou-se de sua educação. Herdou de seu pai uma extensa biblioteca, onde empreendeu leituras de diversos temas: poesia, filosofia, direito, matemática, história e teologia.[4] Isso o tornou um dos cientistas mais universalistas, comparado à Aristóteles. Leibniz é autor de vasta produção bibliográfica, hoje na Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek, com cerca de 50 000 itens, em cerca de 150 mil a 200 mil folhas.[5]

Aos 20 anos já estava preparado para o grau de doutor em Direito, entretanto lhe foi recusado pela pouca idade. Então saiu de Leipzig e obteve o título de doutor na Universidade de Altdorf. Entrou para o serviço diplomático, onde trabalhou por mais de quarenta anos.

Em viagens oficiais conheceu Huygens, que sugeriu a ele ler Pascal. Em Londres, comprou um exemplar de Lectiones geometricae, de Isaac Barrow, que foi professor de Newton. Huygens lhe propôs o problema de achar a soma dos recíprocos dos números triangulares, isto é, 2/n(n+1). Escreveu

e concluiu que a soma dos primeiros n termos é

e, portanto, que a soma da série infinita é 2.

Inocentemente, concluiu que poderia achar a soma de quase todas as séries infinitas.

Leibniz, por volta de 1676 tinha chegado à mesma conclusão de Newton – encontrando uma forma geral para o cálculo diferencial, funcional em funções racionais, irracionais, algébricas etc. Fixou dx e dy para as menores diferenças possível (diferenciais) e ∫y dx , para a soma das ordenadas sob uma curva (o sinal de integral representa uma lembra s aumentada, de soma). Achar tangentes exigia utilização do calculus differentialis e quadraturas o calculus integralis.

Publicou, em 1684, o Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratur (Um novo método para máximos e mínimos e também para tangentes, que não é obstruído por quantidades irracionais). Neste, Leibniz deu algumas fórmulas bem conhecidas atualmente, como dxn = nxn-1dx. Dois anos mais tarde, publicou explicações sobre o cálculo integral, ressaltando a relação inversa entre diferenciação e integração.

Apesar de consagrado pela sua contribuição no cálculo, ao cientista alemão se credita o determinante – a representação de equações simultâneas em linhas e colunas. Foi também um dos maiores criadores de notação, estabelecendo o ponto como símbolo multiplicativo e ~ para “semelhante a”. A ele é devida a palavra “função”, praticamente no mesmo sentido atual.[2]

Foi acusado de plágio e protestou por prioridade na publicação, na Royal Society, dos estudos sobre cálculo. Em 1712, a Commercium epistolicum, comissão para estudar o plágio, chegou à conclusão e que Newton fora o primeiro inventor. Estimulado pelo nacionalismo, em 1726, Newton retirou todas as referencias que fazia a Leibnizna terceira edição do Principia, uma das mais importantes publicações do físico.[2] Morreu, aos 21 de junho de 1716, em Hanover.[4]

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[1] BBC. Historic figures: Isaac Newton. Disponível em: <http://www.bbc.co.uk/history/historic_figures/newton_isaac.shtml&gt;. Acesso em: 16 set. 2010.
[2] BOYLER, Carl B. GOMIDE, Elza F(trad.). Newton e Leibniz. In:______. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blüncher, 1996. cap. 19, p. 269-285. ISBN 85-212-0023-4.
[3] WIKIPEDIA. Isaac Newton. Disponível em: <http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton&gt;. Acesso em: 16 set. 2010.
[4] Vida de Leibniz. Disponivel em: <http://www.leibnizbrasil.pro.br/leibniz-vida.htm&gt;. Acesso em 16 set. 2010.
[5] UNESCO. Letters from and to Gottfried Wilhelm Leibniz within the collection of manuscript papers os Gottfried Wilhelm Leibniz. Disponível em: <http://portal.unesco.org/ci/en/ev.php-URL_ID=22464&URL_DO=DO_TOPIC&URL_SECTION=201.html&gt;. Acesso em: 16 set. 2010.

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1+1=2 para engenheiros

Muitos não gostam de matemática, mas ela pode nos apresentar coisas bem interessantes.

É muito interessante todo o desenvolvimento desta equação para se chegar ao simplório 1+1=2 que todos conhecemos. Parece complicado, mas percebe-se que há funções matemáticas relativamente simples.

Explicação

Didaticamente, divido a equação em 3 partes: a 1ª parcela, a 2ª parcela e a soma.

Na 1ª parcela, temos um logaritmo natural (ou logaritmo neperiano) do número e (número de Euler ou constante de Néper, equivale a 2,7182818…). O logaritmo natural nada mais é que um log com base e. Quando a base é igual ao logaritimando (ou antilogaritmo), o logaritmo é igual a 1.
Vale explicar que o número e neste caso está escrito em sua forma primitiva, como sendo o limite de (1 + 1/z)^z, com z tendendo a infinito, e ainda que o 1 que ali é somado está na forma de 0! (zero fatorial), que por definição é igual a 1. E ainda, este zero é resultado da diferença entre matriz inversa da matriz transposta e matriz transposta da matriz inversa. Ali representada pelo X com um traço em cima.

A segunda parcela é mais simples. É a relação fundamental da trigonometria, que relaciona as funções seno e cosseno: o quadrado do seno de um angulo x somado com o quadrado do cosseno do mesmo ângulo é igual a 1. Esta é resultado do teorema de pitágoras. Olhando bem parece bastante não?!

A soma, finalmente, é expressa em forma de somatório. O numerador da fração exposta no somatório utiliza funções trigonométricas avançadas, as funções hiperbólicas. Sinceramente, não faço a menor ideia de como são, mas sei que a parte de cima da fração equivale a 1. Logo, temos 1/2^n.
O somatório preve que a cada parcela da soma aumente-se em uma unidade natural o número n, iniciando do 0, infinitas vezes. Logo, teremos 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16… e por aí vai, infinitamente. Se observarmos com atenção, vemos que se trata de uma P.G. (Progressão geométrica), cuja razão equivale a 1/2. Utilizando a fórmula de soma dos termos de uma P.G. infinita, obtemos o número 2.

Com isso, obtemos 1 + 1 = 2.

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